Transitorio: Llenado de un bidón con agua

El típico problema del bidón que se llena o vacía de agua es uno de los tantos que nos encontramos en los exámenes del instituto, eso sí, con una serie de consideraciones que nos hacen más fácil dar con la solución (generalmente, en cuánto tiempo se vacía con el desagüe y el grifo abierto).

Sin embargo, las consideraciones que tenemos en cuenta para resolver el problema a nivel de bachiller hacen que se aleje de la realidad. Una aproximación más fiel sería tratar el llenado del bidón como un transitorio, donde su estado cambia con el tiempo, o lo que es lo mismo: es no estacionario.

Problema: consideremos un bidón inicialmente vacío, cuya base tiene un área de 0,5 metros cuadrado. Se abre un grifo situado encima, y entran al bidón de forma constante 10 kg/s de agua, cuya densidad es de 999,55 kg/m3. Junto a la base del bidón, hay un conducto por donde sale el agua, a un flujo de 3L (siendo L la altura instantánea del agua, expresada en m). Veamos cómo varía la altura de agua con el tiempo.

agua

Consideraciones

1. Nuestro sistema queda definido por la línea discontinua de la figura.

2. La densidad del agua permanece constante.

Hallar

La variación en la altura de agua con respecto al tiempo.

Solución

Definido nuestro sistema por el volumen de control que muestra la figura, se pueden establecer las entradas y salidas de la siguiente forma:

ec1

En un instante t determinado, la masa de agua existente en el bidón sería:

ec2

Donde A es el área del bidón, L la altura de agua y ρ la densidad del agua. Sustituyéndolo en el balance de masas, queda:

ec3

Sacando las constantes (densidad y área) de la diferencial, queda:

ec4

Que es una ecuación diferencial de primer orden, cuya solución es:

ec5

Donde C es una constante de integración. Su valor puede obtenerse tomando el instante 0 del proceso (L = 0, y t = 0):

ec6

Por tanto, la ecuación final puede escribirse así:

ec7

Sustituyendo los valores conocidos A y ρ:

ec8

Y ahora es tan fácil como ir adjudicando valores a t, para ver cómo evoluciona la altura de agua (L) en el bidón. La gráfica resultante ya nos indica la razón de ser del transitorio:

graf1

Como se puede ver en la gráfica resultante, al principio el bidón se irá llenando rápidamente, creciendo la altura de agua. A partir de unos 600 segundos (10 minutos) la altura de agua empieza a variar muy poco con el tiempo. Esto es porque el flujo de salida a través del desagüe se va igualando con el flujo de entrada, es decir, irá dependiendo de la cantidad de agua presente en el bidón. Este sencillo ejemplo representa de forma visual el concepto de transitorio.

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